Основные методы интегрирования

Упрощённо говоря интеграл можно представить себе как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. В зависимости от пространства, на котором задана подынтегральная функция, интеграл может быть двойным, тройным, криволинейным, поверхностным (и т. д.); также существуют разные подходы к определению интеграла — различают интегралы Римана, Лебега, Стилтьеса и др.

Обычно, когда говорят об интеграле, то понимают интеграл Римана. В более продвинутой литературе используется понятие интеграла Лебега: такой подход позволяет существенно снизить требования к интегрируемой функции. Интеграл Стилтьеса применяют в теории вероятностей и математической статистике.


Неопределённый интеграл

Пусть дана f(x) — функция действительной переменной. Неопределённым интегралом функции f(x) или её первообразной называется такая функция F(x), производная которой равна f(x), то есть F'(x) = f(x).

\int f(x) = F(x) + const

Так как производная константы равна нулю, то операция взятия первообразной неоднозначна, полученное множество функций отлично на произвольную константу.

Для получения первообразной используют таблицы первообразных, множество функций, для которых известна их первообразная; а так же правила (приемы) интегрирования:

Метод замены переменной

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Интегрирование выражений вида

  • Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.
  • Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.
  • Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:


Определенный интеграл

Понятие определённого интеграла возникает в связи с задачей о нахождении площади криволинейной трапеции, нахождении пути по известной скорости при неравномерном движении и т. п.

Рассмотрим фигуру, ограниченную осью абсцисс, ординатами x=a и x=b и графиком функции y=f(x), называемую криволинейной трапецией (см. рисунок). Если по оси абсцисс отложено время, а по оси ординат — скорость тела, то площадь криволинейной трапеции есть пройденный телом путь.

Для вычисления площади этой фигуры естественно применить следующий приём. Разобьём отрезок [a; b] на меньшие отрезки точками x_i, такими что: a = x_1 < ... < x_i < x_{i+1} < ... < x_{n+1} = b, а саму трапецию — на ряд узких полосок, лежащих над отрезками [x_i; x_{i+1}]. Возьмём в каждом отрезке по произвольной точке \xi_i \in [x_i;x_{i+1}]. Ввиду того, что длина i-го отрезка delta x_i = x_{i+1}-x_i мала, будем считать значение функции f(x) на нём примерно постоянным и равным y_i = f(xi_i). Площадь криволинейной трапеции будет приблизительно равно площади ступенчатой фигуры, изображённой на рисунке

 S \approx \sum_{i=1}^n y_i \Delta x_i \qquad (*)

Если же теперь увеличивать число точек разбиения, так, чтобы длины всех отрезков неограниченно убывали (**), площадь ступенчатой фигуры будет всё ближе к площади криволинейной трапеции.

 \max \Delta x_i \to 0 (**)

Если существует, независимо от выбора точек разбиения отрезка и точек \xi_i, предел суммы (*) при стремлении длин всех отрезков к нулю, то такой предел назывется определённым интегралом (в смысле Римана) от функции f(x) по отрезку [a; b] и обозначается

 \int_a^b f(x) dx 

Критерий интегрируемости (Дарбу)

Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f. Рассмотрим разбиение

Введем обозначения:

рассмотрим следующие суммы

Верхним/нижним интегралом Дарбу называют числа:

Если верхний интеграл Дарбу равен нижнему, то функция называется интегрируемой в смысле Римана. Этот критерий является необходимым и достаточным.

Примеры интегрируемых/не интегрируемых функций

Примеры интегрируемых функций:

  • непрерывные функции
  • функции, имеющие лишь конечное число разрывов первого рода
  • монотонные функции.

Пример неинтегрируемой функции: функция Дирихле (1 при x рациональном, 0 при иррациональном). Поскольку множество рациональных чисел всюду плотно в R, выбором точек x_i можно получить любое значение интегральных сумм от 0 до b-a.

Формула Ньютона — Лейбница

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной.

↑ Расскажите друзьям о статье


Comments system Cackle

© EduNow.su — материалы подлежат полному/частичному копированию при указании прямой ссылки на источник. (Сегодня 12.12.17)