Что находится за границей Бинома Ньютона?

Еще в средней школе учеников знакомят с очень простой и полезной формулой - (a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2, ее легко проверить и убедиться в истинности высказывания. Чуть позже ученики, не все конечно же, постигают более сложную формулу - (a+b)^3. Запомнить, да что там, записать, ее гораздо сложнее, чем первую. Вы должно быть догадались, что пытливый ум уже давным давно нашел формулу для (a+b)^n, такое разложение назвали "Бином Ньютона".

Бином Ньютона

;

Мы не будем загружать вас доказательством теоремы, но если оно все таки вас заинтересует - [скачать]. Отметим лишь тот факт, что в общем случае показатель степени может быть любым, даже комплексным.


Вот мы и подобрались к главной проблеме. Вы наверное уже спросили себя: "А что будет, если мы увеличим количество слагаемых?". Давайте проведем небольшой эксперимент и рассмотрим случай трех переменных для квадрата и куба.

(a + b + c)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 + 2 a c + 2 b c + c^2
(a + b + c)^3 =  a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 + 3 a^2 c + 6 a b c + 3 b^2 c + 3 a c^2 + 3 b c^2 + c^3
Хм, похоже особой ясности это не внесло, однако стало понятно, что ничего не понятно.

Мультиномиальные коэффициенты

Мультиномиальный коэффициент

Для разложения (x1+x2+ .. + xm )^n нам потребуются постичь мультиномиальные коэффициенты (обозначены скобками после знака суммы). Стоит сразу оговорить, что значение коэффициента определено для всех целых неотрицательных чисел n и k1..km, таких, что k1+..+km = n. Отлично. Давайте перейдем непосредственно к формуле вычисления:
формула вычисления мультиномиального коэффициента

(* - n! - факториал n)

Но мы можем преобразовать полученную формулу к следующему виду:


Источники:
  • Дискретная математика: Учебник для вузов. 2-е изд. Стандарт третьего поколения (Новиков Ф А)
  • "Combinatorial theory" (M. Hall)
  • "An introduction to combinatorial analysis" (J. Riordan)
  • "A note on the Fibonacci sequence of order K and the multinomial coefficients" (AN Philippou)

↑ Расскажите друзьям о статье


Comments system Cackle

© EduNow.su — материалы подлежат полному/частичному копированию при указании прямой ссылки на источник. (Сегодня 29.05.17)