Высшая математика для чайников

В данной статье будет дано простая (физическая) трактовка, которая легче всего усваивается читателем. Цель данной статьи - предоставить математический минимум, необходимый для полноценного изучения физики.

Вектор

Мы будем рассматривать вектора, начала которых совпадают с началом системы координат. Тогда любой вектор можно разложить по базису: a = axI + ayJ + azK.
Где I,J,K базис из ортогональных векторов (взаимно перпендикулярных). Поэтому вектор a зачастую определяется как (ax, ay,az).

Тогда длину вектора можно вычислить через теорему Пифагора:

Скалярное произведение. Определяется следующей формулой: (a,b) = axbx + ayby + azbz.

(красный вектор - результат скалярного произведения двух синих векторов).

Векторное произведение (Построение ортогонального вектора). Определяется следующей формулой: .

(красный вектор - результат векторного произведения двух синих векторов).

Производная

Положим f=f(x), тогда производная функции от одной переменной равна отношению приращения функции на Δx к Δx.

Таким образом геометрический смысл производной - скорость роста.

Если же мы имеем функцию от двух и более переменных, то производная этой функции будет равна сумме частных производных по каждому из направлений. Частной производной мы будем называть производную по направлению, те в выше указанном предел мы будем иметь приращение только выбранной координаты.

Пример: (частная производная по направлению)

Интеграл

Пусть Δx равен отрезок разбиения, тогда сумма всех отрезков от x0 до x есть длина этого отрезка: ΣΔxi=x-x0. Теперь положим, что каждый отрезок разбиения Δx стремится к нулю, те мы разбиваем на бесконечно малые отрезки, тогда мы получим:

Теперь становится очевидным геометрический смысл определенного интеграла - площадь.


Источники:
  • Яворский Б. М., Детлаф А. А., Лебедев А. К. Справочник по физике: Для инженеров и студентов вузов. – Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968.
  • Ильин В. А. Математический анализ. – Рипол Классик, 1979.

↑ Расскажите друзьям о статье


Comments system Cackle

© EduNow.su — материалы подлежат полному/частичному копированию при указании прямой ссылки на источник. (Сегодня 20.11.17)