Метод математической индукции

Пусть нужно доказать справедливость некоторого математического высказывания на множестве натуральных чисел, одним из способов доказательства является метод математической индукции, который состоит в следующем:

1) Проверка утверждения для n=1 (минимального значения n) [Базис Индукции]

2) Предполагают, что данное утверждение справедливо при k натуральных чисел (k<n). k ? N [Индукционное предположение]

3) Проверяют справедливость данного утверждения при n=k+1. Если n=k+1 справедливо, то считается, что данное утверждение справедливо для n=k+1,n=k+3… ,то есть при ? n ? N. [Индукционный переход]

Краткая инструкция

Метод математической  индукции

Видеоурок

Примеры:

Пример №1
Доказать, что сумма первых n натуральных числе равна:
n(n+1)/2
Доказательство: 1+2+3+…+k+...+n=n(n+1)/2
1) Проверим справедливость данного равенства при n=1
1=1(1+1)/2
1=1 – верно
2) Пусть для всех первых k слагаемых данное утверждение верно, то есть:
1+2+3+…+k=k(k+1)/2, где k? N, k<n – верно
3) Докажем справедливость данного утверждения для n=k+1, то есть докажем справедливость следующего равенства:
1+2+…+k+k+1 = (k+1)(k+2)/2
Доказательство: 1+2+…+k+k+1 = k(k+1)/2 + (k+1) = (k/2+1)(k+1)=(k+1)(k+2)/2
Значит в силу метода математической индукции (далее ММИ), 1+2+…+n=n(n+1)/2 верно при ? n ? N.

Пример №2
Доказать, что 15^n + 6 кратно 7.
1) Проверим справедливать данного утверждения при n=1:
15^1+6=21 кратно 7
2) Пусть (15^k + 6) кратно 7 при k?N, k 3) Докажем справдливать данного утверждения при n=k+1, то есть докажем, что (15^(k+1) + 6) кратно 7.
Доказательство: 15^(k+1) + 6=15^k * 15 +90 - 84 = 15(15^k + 6) - 84 (Т.к. [15(15^k + 6)] кратно 7 и [84] кратно 7, то утверждение можно считать доказанным).
Аналогично (15^n + 6) кратно 7 при ? n ? N.

Для самостоятельного решения:

Базовый уровень

Доказать, что: 1*3+2*5+...+n(2n+1)=n(n+1)(4n+5)/6

Доказать, что: 7^n + 12n + 17 кратно 18

Задания повышенной сложности

Докажите, что любые n прямых, расположенных на одной плоскости, никакие две из которых не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке, пересекаются ровно в n(n-1)/2 точках.

Докажите, что сумма углов выпуклого треугольника равна (n-2)*180°, (или (n-2)? радиан). В часности для треугольника получаем (3-2)*180°=180°, а для четырех угольника &mdash (4-2)*180°=360°

Недостатки метода

  • Доказывать тождество можно только на множестве натуральных чисел
  • Доказывать тождество можно только для одной переменной

↑ Расскажите друзьям о статье


Comments system Cackle

© EduNow.su — материалы подлежат полному/частичному копированию при указании прямой ссылки на источник. (Сегодня 20.10.17)