Результант

Пусть даны следующие многочлены:

Чудесным образом оказывается,что f и g имеют общий корень тогда и только тогда, когда равно нулю число, которое называется результантом многочленов f и g — это определитель матрицы порядка m+n следующего вида:

Доказательство.
Ограничимся случаем, когда корни каждого из многочленов попарно различны. Пусть V(x1,..,xK) обозначатет матрицу Вандермонда порядка k для чисел x1..xK. Взяв W = V( α1 .. αM, β1..βN ) находим

где
W1 = V( β1 ... βN ) D1 = diag{ f(β1)...f(βN) }
W2 = V( α1 ... αM ) D2 = diag{ f(α1)...f(αM) }
Символ diag{...} обозначает диагональную матрицу с диагональными элементами, указанными в фигурных скобках. Используя уже известную нам формулу для вычисления опеределителя Вандермонда (а вы ее не знали?*) получаем:

В силу принятого ограничения доказательство завершается очевидным образом.

* -


Источник знаний: Тыртышников Е.Е. "Матричным Анализ".

↑ Расскажите друзьям о статье


Comments system Cackle

© EduNow.su — материалы подлежат полному/частичному копированию при указании прямой ссылки на источник. (Сегодня 29.06.17)